Question

离散信号的Z变换

Answer 1

在处理离散信号时，Z变换是一种简单而有效的方法，是研究离散信号的有力工具，主要讨论Z变换的引进、Z变换的收敛域及Z变换的性质。

1.Z变换的引进

研究离散时间序列的有用工具是Z变换。因为我们知道，不是所有离散时间序列都存在傅氏变换的，由于

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等式右边是一个无穷级数，存在收敛与不收敛的问题。其收敛条件是

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即只有当X(e^iω)<∞时，离散时间傅氏变换才存在。而

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所以离散时间傅氏变换存在的条件是

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这也是一个稳定系统要求的条件(稳定条件)，即一个稳定系统要求 ,也就是要求这个系统的频响H(e^iω)存在。下面看两个例子:

例1

当n增大时，x(n)越来越小，显然 是收敛的，实际上

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序列x(n)绝对可和，所以其傅氏变换X(e^iω)存在。

例2

当n增大时，x(n)越来越大，显然 发散，实际上

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序列x(n)不是绝对可和的，所以其傅氏变换X(e^iω)不存在。对于不是绝对可和的序列，也可以像连续拉氏变换一样乘一指数衰减函数，使序列绝对可和，即是在序列x(n)上乘以r^-n，使得 绝对可和。

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上式可改写为

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若令

则

式(5-2-2-)称为x(n)的Z变换。即x(n)r^-n的傅氏变换，当r=1时，Z=e^-iω，于是

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即x(n)的傅氏变换。因此Z变换是离散时间傅氏变换的推广。

例1 对于有限序列

{x(n)}={x(-2)，x(-1)，x(0)，x(1)，x(2)，x(3)}={8，3，-2，0，4，-6}，根据(5-2-2)，其Z变换为

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例2 考虑如下离散信号的Z变换

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根据(5-2-2)得到

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例3 对于序列

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根据(5-2-2)，其Z变换为

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2.Z变换的收敛域

一个时间序列的Z变换，实际上是时间序列x(n)的罗朗级数展开式。与拉氏变换一样，Z变换也有一个收敛不收敛的问题。因为Z变换是一个Z的幂级数，它也有收敛与否的问题。

对于给定的序列{x(n)}={…，x(-2)，x(-1)，x(0)，x(1)，…}，其Z变换可以改写为

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首先看(5-2-3)式右端第一个级数的收敛问题

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假设在点Z=Z₁，级数(5-2-4)收敛，则有

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如果Z₁<Z，由于n的取值全部是负的，则有x(n)Zⁿ<x(n)Zⁿ₁，于是得到

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因此证明，当|Z₁|<|Z|时，级数(5-2-5)绝对收敛。再看级数

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假设在点Z=Z₂，级数(5-2-6)绝对收敛，即有

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如果|Z|<|Z|₁，则因|x(n)Z|ⁿ<|x(n)Zⁿ₁|，于是得到

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由此证明，当|Z|<|Z₂|时，级数(5-2-7)是绝对收敛的。

综上所述，若用R_x+表示使级数(5-2-3)绝对收敛的Z中最大者，用R_x-表示使级数(5-2-3)绝对收敛的Z中最小者，可得到Z变换(5-2-3)的收敛域为一环域R_x-<|Z|<R_x+。

例1 序列{x(0)，x(1)，x(2)，x(3)，x(4)}={1，-1，3，5，-2}则其Z变换为

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其收敛域为|Z|<∞

例2

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收敛域为

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例3 对于序列x(n)=-3ⁿ -1≤n≤-∞

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收敛域为

例4假设序列

根据例1和例2，其Z变换为

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其收敛域为一环域 。