Question

一道关于二重积分的题？

下面是我乱做的 希望大佬们帮我一下 谢谢

Answer 1

积分区域是一个梯形，上底y=1，下底y=t，左边是y轴，x=0；右边是y=x；
变换积分次序，先积x，后积y，这个时候，将梯形沿水平方向分成两个区，一个是左边的矩形，宽x=0~t，高y=t~1；右边倒直角三角形部分，x=t~1，y=x~1.

Answer 2

化极坐标 D：x^2+y^2 = 4x, 化为 r = 4cost
I = ∫∫<D> (x^2+y^2)dxdy = ∫<-π/2, π/2>dt ∫<0, 4cost>r^2 rdr
= ∫<-π/2, π/2>dt [(1/4)r^4]<0, 4cost> = ∫<-π/2, π/2>64(cost)^4dt
= ∫<0, π/2>128(cost)^4dt = ∫<0, π/2>32(1+cos2t)^2dt
= 16∫<0, π/2>[2+4cos2t+2(cos2t)^2]dt = 16∫<0, π/2>(3+4cos2t+cos4t)dt
= 16[3t+2sin2t+(1/4)sin4t]<0, π/2> = 24π

Answer 3

(x-2)²+y²=4化为极坐标方程为
r=4cosθ
∫∫(x²+y²)dxdy
=∫(-π/2，π/2)dθ∫(0，4cosθ)r³dr
=128∫(0，π/2)(cosθ)^4dθ
=128∫(0，π/2)(1+cos2θ)²/4dθ
=32∫(0，π/2)(1+2cos2θ+cos²2θ)dθ=16π+16∫(0，π/2)(1+cos4θ)dθ
=16π+8π=24π

追问