Question

高数复合函数连续性问题

设f(x)=x²,x≤1;2-x,x>1，g(x)=x,x≤1；x+4,x>1，讨论函数f[g(x)]的连续性，并判断间断点类型

Answer 1

f(g(x)) =｛ [g(x)]^2 (g(x)≤1)；2-g(x)(g(x)>1)
=｛x^2 (x≤1)；2-(x+4) (x>1)，
在 x=1 处，左极限 = 1^2=1，右极限 = 2-(1+4) = -3，
因此函数在 x=1 处是跳跃间断点，其余都是连续点。

Answer 2

看求导的函数是一元函数还是多元函数，一元用dy/dx，多元用ay/ax，例如z=f(u(t),v(t))，这是复合函数，t通过u,v复合得到z=f(u,v)，本质上只有一个变量t，因此z对t求导用dz/dt，根据复合函数求导法则，z对f求导时变量有两个u,v，故用az/au，而u,v分别对t求导时变量又只有t，所以用du/dt，即dz/dt=az/au*du/dt+az/av*dv/dt

Answer 3

这与一元函数和二元函数的定义域有关，一元函数的定义域是一段区间，dx对应x轴上的一个线段，dy与dx成线性关系，导数可以表示为dy/dx，所以能够约掉；二元函数定义域是二维的面积，函数的增量dz需要x和y联合确定，单独的∂u是没有意义的：
dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy
显然z与x不是简单的线性关系，所以不能直接约掉。
题目中可以这样做的原因是u、v、w都是t的一元函数，所以：
du=(du/dt)dt
dv=(dv/dt)dt
dw=(dw/dt)dt
而三元函数遵守：
dz=(∂z/∂u)du+(∂z/∂v)dv+(∂z/∂w)dw
将du、dv、dw代入上式就得到需要的等式了。