Question

证明至少有一个正实根？

为什么当f(0)=-3时，能证明至少有一个正实根呢？

Answer 1

根据市连续函数的零点存在性定理。
构造函数f(x)=x^3+x-3，那么f是多项式函数，（从而是解析函数），所以是连续函数。
又因为f(0)=-3<0，f(2)=8+2-3=7>0.
所以f(0)*f(2)<0
根据连续函数的零点存在性定理，函数f(x)在区间(0,2)上必定存在零点。即原方程必定在区间(0,2)上有根，从而必定有正根。

追问

怎么解出0和2的呢

忘记问了

追答

因为这个是具体的函数，可以直接观察出来。如果观察不出来，可以利用三次函数的性质，例如lim(x→+∞)f(x)=+∞，从而知道必定存在充分大的x0，使得f(x0)>0.
另外，因为需要证明存在正根，所以必须找到某个x1≥0，使得f(x1)<0.
当然，如果你更加喜欢暴力，可以直接套用一元三次方程的求根公式，把这个正根解出来，那就万事大吉，不需要用到什么零点存在性定理了。