Question

如果f(x)具有极限A，那么f(x)=A-α吗？

书上给的定理是：在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+α，其中α是无穷小。
如果改成：在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A-α，其中α是无穷小。对吗？

Answer 1

(1)必要条件 limF(x)=A,则lim[F(x)-A]=0
令a=F(x)-A,则lima=0,就有F(x)=A+a,(其中a是无穷小量).
(2)充分条件 若F(x)=A+a,(其中a是无穷小量),
常数A的极限是A,limA=A,lima=0
则limF(x)=limA+lima=A,故F(x)的极限是A.

Answer 2

您的说法有些小瑕疵，应该是存在x，使f（x）＝A-α，α无穷小，等价含义是如果f（x）具有极限A，那么在（A-α，A）中有无数个f（x）的值

追问

书上给的定理是：在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+α，其中α是无穷小。
如果改成：在自变量的同一变化过程x→x0（或x→∞）中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A-α，其中α是无穷小。对吗？

追答

这个得看A是上极限还是下极限吧，就是f（x）的值域有没有A-α，还有，我用的书上 用的无穷小的是∑，表示一个任意小的正数

追问

跟f(x)的值域有什么关系。。lim(x→∞)1/x=0，f(x)的值域肯定不含0啊。。
另外不管是A+α亦是A-α它不一定是数，除非f(x)是常数函数。
比如f(x)=sinx/x，因为lim(x→0)f(x)=1，可得f(x)=1-α=sinx/x，即α=1-sinx/x，α肯定是当x→0时的无穷小。

追答

单调有界定理中，如果f（x）单调递增且有上界，则f（x）一定有上确界，上确界是f（x）的极限值，假设这个极限是A，f（x）≤A，这里，就不能说f（x）＝A+α

追问

“f(x)在某处有极限必定等价于f(x)=A+α，α是无穷小”这是定理，具体证明是通过ε-δ语言证明的，具体看书吧。

Answer 3

必须要限制fx在x0附近不是常函数

追问

为什么不能是常函数？以下是我给出的证明：
（必要性）设f(x)=c，有lim(x→x0)f(x)=c，假设f(x)=c-α=c，那么α=0，所以α是无穷小；
（充分性）设f(x)=c-α，α是x→x0时的无穷小，即lim(x→x0)α=0，又lim(x→x0)c=c，
则lim(x→x0)f(x)=lim(x→x0)c-lim(x→x0)α=c-0=c，即x→x0时f(x)→c，证毕。

追答

对对对

0也是无穷小量

我搞错了

追问

那这个命题你觉得成立吗？

追答

是对的可以严格证明