Question

已知矩阵A，求矩阵X，使得AX=XA。已有推理过程：X可对角化，即存在可逆阵P，和对角阵Λ，使得X=PΛP^(-1)

已知矩阵A，求矩阵X，使得AX=XA。已有推理过程：X可对角化，即存在可逆阵P，和对角阵Λ，使得X=PΛP^(-1)

Answer 1

有一个定理（很容易证明，如果需要的话我可以证一下）：两个矩阵乘法可交换，其中一个可对角化，那么它们必然可以同时对角化。

因此A也必须是可对角化的矩阵。在这个意义下，任取X为A的多项式都是满足题目要求的。

矩阵

是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

Answer 2

这个问题看起来并没有唯一解喔，建议lz把题目发完整。
有一个定理（很容易证明，如果需要的话我可以证一下）：两个矩阵乘法可交换，其中一个可对角化，那么它们必然可以同时对角化。
因此A也必须是可对角化的矩阵。在这个意义下，任取X为A的多项式都是满足题目要求的。

追问

现在问题可以这样问：

如果我的提问和你的回答中说的“A就可以对角化”都没有问题，那么问题变成：已知可逆阵Q，和对角阵V，求可对角化的矩阵X，使得：QVQ^(-1)X=XQVQ^(-1)

请举几个例子，给出解题方法。

追答

建议楼主翻翻复旦大学的《高等代数学》白皮书，上面有矩阵交换性的很多结论。

追问

您发来的图片中的证明过程有误.VW=WV,V为对角阵,并不能推出W为对角阵.
我们可以将以上提问仅限于在二阶方阵内讨论. 有空的话请您再研究研究.附带说明一下,

在提问中,AX=XA,是否能够推出X一定能对角化? 我其实是抄来的结果,没有正式验证.也请顺便验证一下.谢谢.有空吗?

追答

不是啊，你现在在解方程，是对一般的对角阵V考虑的，所以我取对角的W总能满足要求。因为你要我给一个例子我才这么说的啊