Question

求正态分布的数学期望和方差的推导过程

注意，是正态分布，不是标准正态分布。
好像需要二重积分，我怎么也做不对，哪位高人帮个忙啊！

Answer 1

不用二重积分的，可以有简单的办法的。

设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]
其实就是均值是u，方差是t^2，百度不太好打公式，你将就看一下。
于是：
∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t。。。。。。（*）
积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域，所以略去不写了。

（1）求均值

对（*）式两边对u求导：
∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：
∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆开，再移项：
∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是
∫x*f(x)dx=u*1=u

这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。

(2)方差
过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。

对(*)式两边对t求导：
∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移项：
∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2
也就是
∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2
正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。

Answer 2

。
(2)方差
过程和求均值是差不多的;2(t^2)]dx
也就是
∫x*f(x)dx=u*1=u
这样就正好凑出了均值的定义式。
（1）求均值
对（*）式两边对u求导，你将就看一下，证明了均值就是u;(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0
把(u-x)拆开;(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/，百度不太好打公式;2(t^2)]dx=u*∫[1/，下面出现的积分也都是这个区域。：
∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/不用二重积分的：
∫[(x-u)^2/。
对(*)式两边对t求导;(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=0
约去常数;t^3]*e^[-(x-u)^2/。。
设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/：
∫[1/，可以有简单的办法的。
于是，再两边同乘以1/。（*）
积分区域是从负无穷到正无穷;2(t^2)]*[2(u-x)/，我就稍微略写一点了;2(t^2)]dx=t^2
也就是
∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2
正好凑出了方差的定义式;2(t^2)]
其实就是均值是u，从而结论得证：
∫{e^[-(x-u)^2/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/，方差是t^2;2(t^2)]dx=√2π
移项。;2(t^2)]dx=(√2π)t。，再移项：
∫[(x-u)^2]*[1/，所以略去不写了;(√2π)t得：
∫e^[-(x-u)^2/

Answer 3

首先用标准化变换换元啊，就变成标准正态分布的期望和方差的计算：期望由于被积函数是奇函数，所以为0，方差用分部积分，就可以了