Question

过抛物线y²=2px（p>0）的焦点作直线交抛物线于A、B两点，以A、B为直径的圆于准线相切于C（-2，-2）

求：
（1）求此抛物线的方程；
（2）求此圆的方程；
（3）设点D的坐标为（5,0），点P是抛物线上的动点，当|PD|去最小值时，求点P的坐标

Answer 1

1.由题意可知抛物线的焦点在x轴正半轴上,
则准线方程可写为：x=-p/2
又以AB为直径的圆与抛物线的准线相切于点C（-2,2)
则-p/2=-2
解得p=4
所以抛物线的方程为y²=8x
2.由第1小题可记抛物线的焦点坐标为P(2,0),点A(x1,y1),B(x2,y2)
且以AB为直径的圆的半径为r,r≠4,则圆心为(r-2,2),
所以直线AB的斜率k=2/(r-2-2)=2/(r-4)
则直线AB的方程为y=[2/(r-4)]*(x-2)
联立直线AB与抛物线方程：
y=[2/(r-4)]*(x-2) （1）
y²=8x （2）
（1）代入（2）,消去y可得：
[2/(r-4)]²*(x-2)²=8x
即(x-2)²=2(r-4)²x
x²-[4+2(r-4)²]x+4=0
则x1+x2＝4+2(r-4)²
而由抛物线定义可得：
|PA|=x1+2,|PB|=x2+2
因为直径|AB|=|PA|+|PB|=2r
所以x1+2+x2+2＝2r
即x1+x2＝2r－4
则4+2(r-4)²＝2r－4
(r-4)²＝r-4
易解得r=5 （r=4不合题意,舍去）
所以直线AB的方程为y=2(x-2)即y=2x-4
3.由第2小题知所求圆的半径r=5,则圆心坐标为(3,2)
所以圆的方程为(x-3)²+(y-2)²=25

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示