Question

考研数学问题，如图所示～请问画红线的地方是怎么得来的？

求详细过程～谢谢

Answer 1

It's my point,

You can see n个数的求和 as 某个函数 f(x) 的  n个离散值求和运算 。

Prepared 

f(x) = 1/(1+x)

f(xk) = f(k/n) = 1/(1+k/n) (  1<= k <= n )

Cause 1/n , n belongs to N+ ， so 0 < 1/n <= 1.

And n -> inf , then 1/n -> 0 

You can consider 1/n 为[0,1]区间上一个单位刻度

Let xk = k*(1/n) , 为第k个刻度

n->inf，1/n => 把0~1这个整体 连续 区间分成无穷多份 =>每一份 无穷小 => 1/n dx

n->inf , k/n => 每一份代表的一种顺序性，第几份，1/(1+k/n)  => k/n  x =>  0 < x < 1

n->inf , 1/n 足够小， 那么 0~1区间上，无穷个无穷小连在一起 可以认为是连续的。

0<k<=n,n->inf ,  k/n 对应了连续区间0~1上的任意值(相当于x)

Refer to 积分定义

0~1区间的无穷多个函数点x无穷小,在求和。

Answer 2

根据定积分的定义所得，定积分的定义，就是n个矩形面积的和，n 趋近无穷，

Answer 3