Question

求一道高数题13.

Answer 1

求微分方程 (1-x²)y''-xy'=0的一条积分曲线，使其在原点处与曲线y=arctanx相切；
解：令y'=dy/dx=p，则y''=(d/dx)(dy/dx)=dp/dx；代入原式：
(1-x²)(dp/dx)-xp=0; 分离变量得：dp/p=[x/(1-x²)]dx=(1/2)[1/1-x)-1/(1+x)]dx;
积分之得：lnp=(1/2)∫[1/(1-x)-1/(1+x)]dx=(1/2)[-ln∣1-x∣-ln∣1+x∣]=-(1/2)ln[c₁∣1-x²∣];
故p=dy/dx=1/√[c₁∣1-x²∣];
再次分离变量得：dy=dx/√[c₁∣1-x²∣];

积分之得： y=(1/√c₁)∫dx/√(1-x²)=(1/√c₁)arcsinx+c₂;
因为与曲线y=arctanx在原点相切，故有y(0)=c₂=0;
求因为(arctanx)'∣(x=0)=1/(1+x²)∣(x=0)=1，故有p=dy/dx=1/√[c₁∣1-x²∣]∣(x=0)=1/√c₁=1
∴c₁=1； 于是得满足初始条件的特解为：y=arcsinx;

Answer 2