Question

等比数列求积公式的推导

请问等比数列的求积公式Tn是如何推导的，谢谢。

Answer 1

解析如下：

T(n)=a1·(a1q)·(a1q2)·(a1q3)...(a1q^(n-1))

=a1^n·q^(1+2+3+……n-1)

=a1^n·q^(n(n-1))/2

1、等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。

举例：

数列：2、4、8、16······

每一项与前一项的比值：4÷2=8÷4=16÷8=2，所以这个数列是等比数列，而它的公比就是2。

2、等比数列的求和公示如下：

其中a1为首项，q为等比数列公比，Sn为等比数列前n项和。

还是以数列：2、4、8、16、······为例，a1=2，公比q=2。

假如是求前四项的和，即：Sn=2×（1-2^4）÷（1-2）=30，与2+4+8+16=30 相符。

Answer 2

等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比相等。数列的一般项可表示为 a, a*r, a*r^2, a*r^3, ...，其中a是首项，r是公比。
要推导等比数列的求积公式Tn，我们可以根据等比数列的性质进行推导。
我们设等比数列的首项为a，公比为r，数列的第n项为an。
根据等比数列的性质，我们知道：
an = a * r^(n-1)
然后我们考虑前n项的乘积，可以表示为：
Pn = a * (a * r) * (a * r^2) * ... * (a * r^(n-1))
可以将Pn中的每个因子(项)中的a分离出来，得到：
Pn = a^n * (r^0) * (r^1) * (r^2) * ... * (r^(n-1))
观察这个乘法式子，我们可以发现只有指数部分在变化，而指数部分正好是一个等差数列0, 1, 2, ..., n-1。根据等差数列的求和公式，我们可以得到：
r^0 + r^1 + r^2 + ... + r^(n-1) = (r^n - 1) / (r - 1)
将等差数列的求和公式代入Pn中，得到：
Pn = a^n * (r^n - 1) / (r - 1)
这就是等比数列求积的公式Tn。
需要注意的是，在使用等比数列求积公式时，要确保公比r不等于1，否则公式会出现除数为0的情况。当r等于1时，等比数列实际上变成了等差数列。

Answer 3

T(n)=a1·(a1q)·(a1q²)·(a1q³)...(a1q^(n-1))
=a1^n·q^(1+2+3+……n-1)
=a1^n·q^(n(n-1))/2

Answer 4