Question

证明题 第二题 证明只有一个实根？

Answer 1

求函数f(x)=x^(2n)-2nx+1的一阶导数得f'(x)=2nx^(2n-1)-2n=2n[x^(2n-1)-1],
因为在(0,1)内，x^(2n-1)-1<0, 所以f'(x)<0，即f(x)严格减，可见方程最多只有一个实根。
又f(0)=1, f(1)=2-2n=2(1-n)<0，由根的存在性定理就知道，方程在(0,1)内有一个根.
综上得证.

Answer 2

只要证明判别式德尔塔等于0就行了

Answer 3

(2) 求导，得到函数在(0,1)内单调，且两端函数值异号，即可证明。
令f(x)=x^(2n)-2nx+1
f'(x)=2nx^(2n-1)-2n
=2n[x^(2n-1)-1]
因为0<x<1，n>1
所以x^(2n-1)-1<0
即f'(x)<0，f(x)在(0,1)内单调递减。
f(0)=1>0
f(1)=2(1-n)<0
因此，f(x)=0在(0,1)内有且仅有一个实数根。