Question

如图，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点

Answer 1

1.EFHG为各边中点时，四边形EFGH为平行四边形；
2.空间四边形异面直线相互垂直+EFHG为各边中点时，四边形EFGH为矩形；
3.空间四边形异面直线相互垂直+EFHG为各边中点时+空间四边形各边相等时，四边形EFGH为正方形。
若加AC=BD且AC⊥BD，则四边形EFGH会是正方形
在（1）的条件下，∵AC=BD
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH是菱形．
又∵AC⊥BD，EH∥BD，EF∥AC
∴∠HEF=90°
∴四边形EFGH是正方形

Answer 2

你应该是问三线共
点吧
。
如图，延长EH交BD延长线于M，延长FG交BD延长线于N，做EP∥BD交AD于P，做FQ∥BD交CD于Q，
很容易证明P、Q分别是AH、CG中点，
很容易证明△EHP≌△MDH，△FGQ≌△MGD，则有DM=EP=BD/2，DN=FQ=BD/2，
M、N同在BD线上，在D点同侧，距离D相等，显然是同一点，
故BD、EH、FG三线共点。

Answer 3

证明:
(1)∵AE/BE=AH/HD=m
CF/BF=CG/GD=n
∴EH//BD
FG//BD
∴EH//FG
∴根据两平行线确定一平面可知
EFGH4点共面
(2)当m=n时
EFGH为平行四边形
证明：
∵BE/AE=BF/FC=m=n
DH/AH=DG/GC=m=n
∴EF//AC
HG//AC
∴EF//HG
又EH//FG
∴EFGH是平行四边形ae/eb=ah/hd
推出ae/ab=ah/ad
三角形aeh,abd
相似ae/ab=eh/bd
同理be/ab=ef/ac
ac＝bd，且知efgh是菱形
可知eh=ef
ae/ab=be/ab
ae=eb,ae/eb=k=1