Question

若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函...

若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）=（k-1）x-1，g（x）=0，h（x）=（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是_____．

Answer 1

解：根据题意，可得0≤（k-1）x-1≤（x+1）lnx在x∈[1，2e]上恒成立．
当x∈[1，2e]时，函数f（x）=（k-1）x-1的图象为一条线段，
于是，f(1)≥0f(2e)≥0，解得k≥2．
另一方面，k-1≤(x+1)lnx+1x在x∈[1，2e]上恒成立．
令m(x)=(x+1)lnx+1x=lnx+lnxx+1x，
则m′(x)=x-lnxx2．
由于1≤x≤2e，
所以(x-lnx)′=1-1x≥0，
于是函数x-lnx为增函数，
从而x-lnx≥1-ln1＞0，
所以m′（x）≥0，
则函数m（x）为[1，2e]上的增函数．
所以k-1≤[m（x）]min=m（1）=1，
即k≤2．
综上，k=2．
故答案为：{2}．