如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且PE=PB。
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解:①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.
∵PC=PC,
∴△PBC≌△PDC(SAS).
∴PB=PD,∠PBC=∠PDC.
又∵PB=PE,
∴PE=PD.
②(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,
∵PB=PE,
∴∠PBE=∠PEB,
∴∠PEB=∠PDC,
而∠PEB+∠PEC=180°,
∴∠PDC+∠PEC=180°,
∴∠DPE=360°﹣(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°,
∴PE⊥PD.
(ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD.
(iii)当点E在BC的延长线上时,如图.
∵∠PEC=∠PDC,∠1=∠2,
∴∠DPE=∠DCE=90°,
∴PE⊥PD.
综合(i)(ii)(iii),PE⊥PD;
(2)过点P作PF⊥BC,垂足为F,则BF=FE.
∵AP=x,AC=,∠ACB=45°,PF⊥BC,
∴PC=﹣x,PF=FC=.
BF=FE=1﹣FC=1﹣()=.
∴S
△PBE
=EB·FP=BF·PF=()=.
即(0<x<).
∴BC=DC,∠BCP=∠DCP=45°.
∵PC=PC,
∴△PBC≌△PDC(SAS).
∴PB=PD,∠PBC=∠PDC.
又∵PB=PE,
∴PE=PD.
②(i)当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时,
∵PB=PE,
∴∠PBE=∠PEB,
∴∠PEB=∠PDC,
而∠PEB+∠PEC=180°,
∴∠PDC+∠PEC=180°,
∴∠DPE=360°﹣(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°,
∴PE⊥PD.
(ii)当点E与点C重合时,点P恰好在AC中点处,此时,PE⊥PD.
(iii)当点E在BC的延长线上时,如图.
∵∠PEC=∠PDC,∠1=∠2,
∴∠DPE=∠DCE=90°,
∴PE⊥PD.
综合(i)(ii)(iii),PE⊥PD;
(2)过点P作PF⊥BC,垂足为F,则BF=FE.
∵AP=x,AC=,∠ACB=45°,PF⊥BC,
∴PC=﹣x,PF=FC=.
BF=FE=1﹣FC=1﹣()=.
∴S
△PBE
=EB·FP=BF·PF=()=.
即(0<x<).
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