Question

对数运算换底公式

Answer 1

由于am
•an
=
a
m+n
设M=am
，N=
an
于是MN=
a
m+n
由对数的定义得到
logaM=m
，
logaN=n
，
loga(M•N)=m+n
这样，我们就得到对数的一个运算性质：
loga(M•N)=
logaM+
logaN
同样地，可以仿照上述过程，由am÷
an=am-n和(am)
n=amn
,得出对数运算的其他性质：
如果a>0,
且a≠1,M>0
,N>0
,那么：
（1）loga(M•N)=
logaM+
logaN
(2)
loga(M÷N)=
logaM—logaN
(3)
loga
Mn
=
nlogaM
(n属于R)
资料参考自数学必修1（人教A版）P71

Answer 2

换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用。
log(a)(b)表示以a为底的b的对数。
所谓的换底公式就是log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).
推导：
有对数
log(a)(b)
设a=n^x,b=n^y
则
log(a)(b)=log(n^y)(n^y)
根据
对数的基本公式4：log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
和
基本公式5：log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
得
log(n^y)(n^y)=y/x
由
a=n^x,b=n^y
得
y=log(n)(b),x=log(n)(a)
则有：log(a)(b)=log(n^y)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a).