Question

重积分！∫∫(x+y)^2 dxdy,其中D={(x,y)||x|+|y|≦1}

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

1.
此题利用对称法进行求解，结果是4/3
2.
分析：由于本题积分区域关于x轴和y轴均对称，所以原积分可以写成在第一象限内4倍的形式，记∫∫[d]f(x,y)dxdy=4∫∫[d1]f(x,y)dxdy
其中d1={(x,y)|x+y≦1,x≥0,y≥0}，然后在第一象限内利用累次积分对原函数积分即可。
3.
具体计算过程如下：
∫∫[d]f(x,y)dxdy
=4∫∫[d1]f(x,y)dxdy
=4∫∫[d1](x+y)
dxdy
=4∫[0→1]dx∫[0→1-x](x+y)dy
=4∫[0→1][x(1-x)+1/2(1-x)²]dx
=4∫[0→1](-1/2x²+1/2)dx
=4*(-1/6x³+1/2x)|[0→1]
=4/3
4.
说明：当出现绝对值时，应首先考虑去掉绝对值；积分区域对称时，应将原积分转化成易于计算的区间内的倍数关系。

Answer 3

D是以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形，可分别在如下两个子区域内积分，各得1/3:
D1:-1≤x≤0,-x-1≤y≤x+1;D2:0≤x≤1,x-1≤y≤-x+1;
故最终结果为2/3