Question

求f(x)=|sinx|+|sin2x|的最大值

Answer 1

f(x)=sin2x+sinx+cosx
=2sinxcosx+sinx+cosx
=(1+2sinxcosx)+sinx+cosx-1
=(sinx+cosx)²+(sinx+cosx)-1
=t²+t-1
令t=sinx+cosx
=y(t)
则f(x)的最大值即为抛物线y(t)=t²+t-1的最大值
因t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
∴t的取值范围为t∈[-√2,√2]
而抛物线y=t²+t-1=(t+1/2)²-3/4，对称轴为t=-1/2，开口向上
∴在t∈[-√2,√2]上，y(t)在t=-1/2处取得最小值，在t=√2处取得最大值
∴f(x)的最大值为y(√2)=2+√2-1=1+√2

Answer 2

解：
令t=sinx+cosx=
根号2
sin（x+π
4
），则
t^2-1=2sinxcosx，
则y=t^2+t-1=(t+1
/2
)^2-5/
4
因为x∈[-π/3，π/3]
即函数f（x）的最大值为 1+根号2
（x取
π/4），最小值为 -5/
4
．
过程大概就是这样的，一般只要知道用换元来做就迎刃而解了。