Question

利用数学归纳法证明不等式 1 n+1 + 1 n+2 +…+ 1 n+n ＞ 1 2 （n

Answer 1

很显然的
(n+1)+(n+2)+...+(n+n)
=(n+n+...+n)+(1+2+...+n)
=n²+n(n+1)/2
=n(3n+1)/2
下面用数学归纳法证明
(i)n=1时显然成立
(ii)假设n=k时等式成立，
则(k+1)+(k+2)+...+(k+k)=k(3k+1)/2
当n=k+1时
左边=(k+1+1)+(k+1+2)+...+(k+1+k-1)+(k+1+k)+(k+1+k+1)
=(k+2)+(k+3)+...+(k+k)+(k+1+k)+(k+1+k+1)
=(k+1)+(k+2)+(k+3)+...+(k+k)
+(k+1+k)+(k+1+k+1)-(k+1)
=k(3k+1)/2+3k+2
=(3k²+7k+4)/2
=(k+1)[3(k+1)+1]/2
得证
则n=k+1时等式也成立
则原式成立