Question

用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的十位数,求有多少个是99的倍数

Answer 1

可以组成3265920个没有重复数字的十位数；其中有290880个是99的倍数。分析过程如下：

分别从最高位起依次一个一个地填数字：9×9×8×7×6×5×4×3×2=3265920个。

介绍三条经验定理：

1. 定理1：一个数的各位数的和能被3、9整除，那么这个数就能被3、9整除；
2. 定理2：一个数，奇数位数字之和，减去偶数位数字之和，差的绝对值，若能被11整除，则这个数就能被11整除；
3. 定理3：一个数，既能被整数a整除，又能被整数b整除，则这个数一定能被a、b的乘积整除。

0+1+2……+9=45，45能被9整除，所以这个十位数永远能被9整除。

问题转化为：求多少个是11的倍数。

设满足条件的十位数为abcdefghij；则：

(a+c+e+g+i)-(b+d+f+h+j)

=(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j)-2(b+d+f+h+j)=45-2(b+d+f+h+j)；

2(b+d+f+h+j)=34；

b+d+f+h+j=17(其它情形可排除)；

故只要满足偶数位的和为17，或奇数位的和为17，且没有重复数字的十位数，就能被11整除。

五个数的和为17的情形：

01259,01268,01349,01358,01367,

01457,02348,02357,02456,12347,

12356共计11种组合；其中有0的组合9种；

1. 奇数位和为17：11×5!×5!=158400个；
2. 偶数位和为17：9×4×4!×5!+2×5!×5!=132480个；
3. 合计：158400+132480=290880.

Answer 2

思路：用0到9这10个数字组成的十位数，一定是9的倍数。如果它也是11的倍数，那么它就一定是99的倍数。此外，一个数如果能被11除，那么这个数的各位数乘（-1)^n后的和一定为零,其中n代表该数字的排位数。
举例：187： 1-8+7 = 0。 187 = 11*17
因为0+1+2+...+9 = 45, 所以无法将其分为和相等的两组数。因此，无论如何组成，不可能是99的倍数。答案：0.

Answer 3

9×9×8×7×6×5×4×3×2×1