Question

尺规作图三等分任意角有解吗

Answer 1

现在已经证明，这个问题是没有办法在给定的条件之下完成的。其理论依据出自于十九世纪发展出来的体论。
任何可以在尺规作图规定下完成的几何物件，其座标需为规矩数，规矩数的必要条件为一代数数，且最小多项式次数为2
n
。
假设可以用尺规作图将任意角三等分，代表对任意角度
A，均可以由尺规作图得到
，而
也会是规矩数。
令
A
=
,
x
=
=
根据三倍角公式：
因此
8x
3
−
6x
−
1
=
0
此方程式无有理数解，且其次数为
3，不满足
2
n
的形式，因此
x（=
）不是规矩数，也就代表无法用尺规作图得到
与假设矛盾，因此无法用尺规作图将任意角三等分，三等分角问题因而宣告无解。