Question

证明:当x＞0时，不等式x＞ln（1+x）成立

Answer 1

设f(x)=ln(1+x)
则f'(x)=1/(1+x)
在[0，x]上应用拉格朗日中值定理
存在ξ∈(0，x)
使得
ln(1+x)-ln(1+0)=f'(ξ)(x-0)
即
ln(1+x)=f'(ξ)·x
由于0＜ξ＜x
所以1/(1+x)＜f'(ξ)＜1/x

Answer 2

构造函数f(x)＝x-ln(1+x)
(x>0)
则f'(x)＝1-1/(x+1)＝x/(x+1).
可见，x>0时，f'(x)>0,
即f(x)在x>0时单调递增.
∴f(x)>f(0)，即x-ln(1+x)>0-ln(1+0)＝0.
因此，x>ln(1+x)。