Question

已知f(x)=x^3-1/2x^2+bx+c(1)若f(x)的图像有与x轴平行的切线，求b的取值范围。

Answer 1

解：(1)
设切点P（，则f(x)在P点的切线的斜率
由题意，有解，
Δ=1-12b≥0,∴b≤
(2)∵f(x)在x=1时取得极值,
∴x=1为方程的一个根，∴b=
∴由可得的另一根为，
∵当或时，
∴当x∈[-1，2]时，
f(x)在[，]递增，（，1）递减，[1，2]递增
∴f(x)在区间[-1，2]有极大值f()=，又f(2)=
∴x∈[-1，2]时，f(x)有最大值f(2)=
∵f(x)<恒成立，∴<恒成立
∴c<-1或c>2
第（1）题应用导数的几何意义，转化为二次方程有解的问题，从而利用Δ≥0求得参数的取值范围。
第（2）题为恒成立问题，转化为求函数f(x)在区间[-1，2]上的最大值。这里要注意：求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大(小)值时，如果f(x)在[a,b]上有极大（小）值点，则必须比较极大（小）值与端点处的函数值的大小，其较大（小）者即为闭区间[a,b]上的最大(小)值。学生易把极值误为最值。