Question

判断级数(n=1→∞)∑(-1)^n*ln[(n+1)/n]是绝对收敛还是条件收敛？

Answer 1

级数(n=1→∞)∑(-1)^n*ln[(n+1)/n]=级数(n=1→∞)∑(-1)^nan
|(-1)^n*an|=ln(n+1)/n=ln(1+1/n)
而lim(n→∞
)
ln(1+1/n)/(1/n)=1
（罗必塔）
而∑1/n是发散的，所以∑ln(1+1/n)是发散的
所以不是绝对收敛
而an=ln(1+1/n)>an+1=ln(1+1/(n+1))
lim(n→∞)an=lim(n→∞)
ln(1+1/n)=0
所以由莱布里茨判别定理，可知该交错级数收敛
所以级数(n=1→∞)∑(-1)^n*ln[(n+1)/n]是条件收敛

Answer 2

如果通项就是((-1)^n/√n)+(1/n),
那么级数发散.
原因是∑(-1)^n/√n收敛(leibniz判别法,
交错级数,
绝对值单调趋于0),
而∑1/n发散.
一个收敛级数与一个发散级数的和是发散的.
如果原题通项是(-1)^n/√(n+1/n),
那么级数收敛.
同样是由leibniz判别法(n+1/n单调递增).
取绝对值后,
通项1/√(n+1/n)与1/√n是等价无穷小.
根据比较判别法,
∑1/√(n+1/n)发散.
因此级数是条件收敛的.

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示