Question

已知函数f(x)=x²-1,g(x)=a|x-1|.求：

Answer 1

解
(1)判断f(x)的奇偶性.
因为函数f(x)的定义域为(-∞,
∞),且
f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)
1)=(1-a^x)/(1
a^x)
=-(a^x-1)/(a^x
1)=-f(x),
所以,f(x)是奇函数.
(2)求f(x)的值域.
因为0<a^x<
∞,所以
f(x)=(a^x-1)/(a^x
1)=1-2/(a^x
1)>1-2/(0
1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x
1)=1-2/(a^x
1)<1,
因此,f(x)的值域为(-1,1).
(3)讨论f(x)的单调性.
(i)当a>1时
设x1,x2是(0,
∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1<a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1
a^x1)-(1-a^x2)/(1
a^x2)
=[(1-a^x1)(1
a^x2)-(1-a^x2)(1
a^x1)]/[(1
a^x1)(1
a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1
a^x1)(1
a^x2)]>0,
所以,f(x)在(0,
∞)内单调递减.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减.
因此,当a>1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递减.
(ii)当0<a<1时
设x1,x2是(0,
∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1>a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1
a^x1)-(1-a^x2)/(1
a^x2)
=[(1-a^x1)(1
a^x2)-(1-a^x2)(1
a^x1)]/[(1
a^x1)(1
a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1
a^x1)(1
a^x2)]<0,
所以,f(x)在(0,
∞)内单调递增.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增.
因此,当0<a<1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递增.
综上所述,当0<a<1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递增,当a>1时,f(x)在(-∞,
∞)内单调递减.

Answer 2

：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x2-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，
有且仅有一个等于1的解或无解，
结合图形得a＜0．
（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2-1）≥a|x-1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为
a≤x2-1|x-1|，令
φ(x)=x2-1|x-1|={x+1，(x＞1)-(x+1)，(x＜1)
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞-2，
所以φ（x）＞-2，故此时a≤-2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤-2．
（3）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x2-1|+a|x-1|=
{x2+ax-a-1，(x≥1)-x2-ax+a+1，(-1≤x＜1)x2-ax+a-1，(x＜-1)（10分）
1当
a2＞1，即a＞22时，结合图形可知h（x）3在[-2，1]4上递减，在[1，2]5上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．
6当
0≤a2≤1，即0≤a≤27时，结合图形可知h（x）8在[-2，-1]9，
[-a2，1]10上递减，
在
[-1，-a2]，[1，2]上递增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，
h(-a2)=a24+a+1，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3．
11当
-1≤a2＜0，即-2≤a＜012时，结合图形可知h（x）13在[-2，-1]14，
[-a2，1]15上递减，
在
[-1，-a2]，[1，2]上递增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，
h(-a2)=a24+a+1，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3．
16当
-32≤a2＜-1，即-3≤a＜-217时，结合图形可知h（x）18在
[-2，a2]19，
[1，-a2]20上递减，
在
[a2，1]，
[-a2，2]上递增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3．
当
a2＜-32，即a＜-3时，结合图形可知h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时h（x）在[-2，2]上的最大值为h（1）=0．
综上所述，当a≥0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3；
当-3≤a＜0时，h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3；
当a＜-3时，h（x）在[-2，2]上的最大值为0．