Question

已知f（x）为二次函数，f（0）=0,f（x+1）=f（x）+2x+1求二次函数f（x）的解析式

Answer 1

令x=0，得f（1）=1，令x=-1得，f（-1）=1，由函数的对称关系可知次函数是关于y轴对称，因为f（0）=0，所以此函数的解析式为f（x）=x^2

Answer 2

解：

设二次函数为f(x) =ax²+bx+c（a≠0且a，b，c为实数）

将f(0)=0代入，得：

c=0

那么

f(x)
=ax²+bx

又f(x+1)
=f(x)
+2x+1，所以

a(x+1)²+b(x+1)=ax²+bx+2x+1

ax²+2ax+a+bx+b=ax²+bx+2x+1

2ax+a+b=2x+1

可知：

2a=2

a+b=1

解得：

a=1

b=0

所以

f(x)
=x²