Question

求函数f(x)=(x-1)x^(2/3)的单调区间，极值。

Answer 1

f'(x)=3(x-1)^2(x+2)^2+2(x-1)^3(x+2)=(x-1)^2(x+2)[3x+6+2x-2]=(x-1)^2(x+2)(5x+4)
由f'(x)=0得x=1,
-2,
-4/5
但在x=1左右邻域，f'(x)不变号，因此它不是极值点；
单调增区间：x-4/5
单调减区间：(-2,-4/5)
极大值f(-2)=0
极小值f(-4/5)=(-9/5)^3(6/5)^2=-26244/3125

Answer 2

先求导数
f'(x)=x^(2/3)+2(x-1)/(3×x^(1/3))
=[
x+5x/3-2/3]
/(x^(1/3))
令f'(x)＝0,得x=2/5
（1）在x>0时
－－当0
2/5时,f'(x)>0,f(x)单调增
所以x＝2/5为极大值点.
（2）在x<0时
－－f'(x)>0,f(x)单调增
又原函数在x＝0处有定义且连续,因此在x=0处有极大值点.
图像如图所示