Question

设A（-2，√3），F为椭圆x^2/16+y^2/12=1的右焦点，点M在椭圆上移动，当|AM|+2|MF|取最小值时，点M的坐标

Answer 1

解：由椭圆可知a=4,b=2√3,c=2
所以e=1/2
过点M作椭圆右准线x=8的垂线，设垂足为N，
过点A作椭圆右准线x=8的垂线，设垂足为P，
则|MF|/|MN|=
e=1/2
即2|MF|=|MN|
所以|AM|+2|MF|
=|AM|+|MN|
≥|AN|≥|AP|=10
（当且仅当动点M在线段AP上时取等号）
所以|AM|+2|MF|的最小值为10，
当|AM|+2|MF|取最小值时，点M的纵坐标为√3
代入椭圆方程可得x=2√3
即点M坐标为（2√3，√3）

Answer 2

解答：
x²/16+y²/12=1
a²=16，b²=12
∴
c²=a²-b²=4
右焦点是f(2,0)，左焦点f'(-2,0)
则|af‘|=√3
利用椭圆定义
mf+mf'=2a=8
∴
ma+mf=ma+8-mf'=ma-mf'+8
∵
|ma-mf'|≤af’=√3
（三角形中两边之差小于第三边）
伐触崔吠诏杜措森胆缉∴
-√3≤ma-mf'≤√3
∴8-√3≤
ma-mf'+8≤8+√3
即ma+mf的取值范围是
[8-√3,8+√3]