Question

设空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0，Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则（　　）A．∫∫∫Ω1xdv

Answer 1

由于空间区域：Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0，是上半球体，Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，是球体在第一卦限的部分，
（1）对于选项A．
被积函数f（x，y，z）=x是关于x的奇函数，它在关于YOZ对称的立体区域Ω1上的三重积分为0，而在Ω2上x≥0，
因而它的三重积分不为0，
故选项A错误；
（2）对于选项B．
被积函数f（x，y，z）=x是关于y的奇函数，它在关于XOZ对称的立体区域Ω1上的三重积分为0，而在Ω2上y≥0，
因而它的三重积分不为0，
故选项B错误；
（3）对于选项C．
被积函数f（x，y，z）=z在Ω1上和Ω2上都是非负的，且Ω1在第一到第四卦限上的形状都一样，
因而有三重积分的定义可知：
∫∫∫
Ω1
zdv＝4
∫∫∫
Ω2
zdv成立，
故选项C正确；
（4）对于选项D．类似于选项A和B讨论知选项D错误，
故选：C．

Answer 2

显然ω1为球体在z≥0的部分，ω2区域为半径为r的球在第一卦限的部分，
a．有f（x，y，z）=x=-f（-x，y，z），ω1关于yoz平面对称，故
?
ω1
xdv＝0，而右边不为0；
b．有f（x，y，z）=y=-f（x，-y，z），ω1关于xoz平面对称，故
?
ω1
ydv＝0，而右边不为0；
c．有f（x，y，z）=z=f（-x，-y，z），ω1关于xoz平面和yoz平面对称，故
?
ω1
zdv＝4
?
ω2
zdv＝4
?
ω2
xdv；
d．有f（x，y，z）=xyz=-f（-x，y，z），ω1关于yoz平面对称，故
?
ω1
xyzdv＝0，而右边不为0．
故答案选：c．