Question

两个实对称矩阵合同，那么他们的二次型的规范形一定相同吗？

矩阵合同等价于正负惯性指数，也就是说正项个数和复项个数相同，但如果规范性相同吗。比如f1=x1－x2， f2=–X1＋x2。f1与f2的惯性指数也相同呀，但是f1≠f2呀

Answer 1

未必，只需要给举个反例就行。

对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵，而单位矩阵只能和单位矩阵相似，显然diag(3,3,3)不相似于单位矩阵。

合同与相似是特殊的等价关系，若两个矩阵相似或合同，则这两个矩阵一定等价，反之不成立。相似与合同不能互相推导，但是如果两个实对称矩阵是相似的，那肯定是合同的。 

两矩阵合同的概念：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得C^TAC=B，则称方阵A与B合同，记作 A≃B。

两矩阵相似的概念：设A/B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。

性质：

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

Answer 2

二次型的规范型是唯一的，在规范型里面，要按照1，-1，0的顺序进行排列。正负惯性指数一样，规范型肯定是一样的。

Answer 3

这个不一定的

因为合同的一定可以推出惯性指数一样但是反过来可能就不对了