Question

数列：1,1,4,7,19,40,97,( ),508,1159

Answer 1

40*3+97=217
通式为：[(1+√13)/2]^n
/√13
－
[(1－√13)/2]^n
/√13
这个通式我是从菲波那契数列联想到的，菲波那契数列是从第三个数开始每个都是前两个数的和，其通式是：[（1＋√5）/2]^n
/√5
－
[（1－√5）/2]^n
/√5
，而且有个特性是随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割（就是(√5-1)/2），于是我就向这个数列靠近
A(n)=3*A(n-2)+A(n-1)
于是有A(n)/A(n-1)=3*A(n-2)/A(n-1)
当n趋向无穷大是应该有：前一项与后一项之比为定值，既A(n)/A(n-1)=A(n-1)/A(n-2)=x
(x>0)
于是有x=3/x+1
解得x=(1+√13)/2
于是得到本通式，代入检验
A(1)=1,A(2)=1,
设b1=[(1+√13)/2]^n
/√13
b2=[(1-√13)/2]^n
/√13
则A(n)=b1-b2
A(n+1)=b1*(1+√13)/2-b2*(1-√13)/2
A(n+2)=b1*[(1+√13)/2]^2-b2*[(1-√13)/2]^2
=b1*(7+√13)/2-b2*(7-√13)/2
3A(n)+A(n+1)=b1*[(1+√13)/2
+3]-b2*[(1-√13)/2
+3]
=b1*(7+√13)/2-b2*(7-√13)/2=A(n+2)
既A(n+2)=3A(n)+A(n+1)
又A(1)=1,A(2)=1，所以验证通式是正确的！