数列:1,1,4,7,19,40,97,( ),508,1159

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厍温桥淑
2020-06-02 · TA获得超过3.7万个赞
知道大有可为答主
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40*3+97=217
通式为:[(1+√13)/2]^n
/√13

[(1-√13)/2]^n
/√13
这个通式我是从菲波那契数列联想到的,菲波那契数列是从第三个数开始每个都是前两个数的和,其通式是:[(1+√5)/2]^n
/√5

[(1-√5)/2]^n
/√5
,而且有个特性是随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越逼近黄金分割(就是(√5-1)/2),于是我就向这个数列靠近
A(n)=3*A(n-2)+A(n-1)
于是有A(n)/A(n-1)=3*A(n-2)/A(n-1)
当n趋向无穷大是应该有:前一项与后一项之比为定值,既A(n)/A(n-1)=A(n-1)/A(n-2)=x
(x>0)
于是有x=3/x+1
解得x=(1+√13)/2
于是得到本通式,代入检验
A(1)=1,A(2)=1,
设b1=[(1+√13)/2]^n
/√13
b2=[(1-√13)/2]^n
/√13
则A(n)=b1-b2
A(n+1)=b1*(1+√13)/2-b2*(1-√13)/2
A(n+2)=b1*[(1+√13)/2]^2-b2*[(1-√13)/2]^2
=b1*(7+√13)/2-b2*(7-√13)/2
3A(n)+A(n+1)=b1*[(1+√13)/2
+3]-b2*[(1-√13)/2
+3]
=b1*(7+√13)/2-b2*(7-√13)/2=A(n+2)
既A(n+2)=3A(n)+A(n+1)
又A(1)=1,A(2)=1,所以验证通式是正确的!
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