Question

定积分上下限互换变号

请大家帮我看一道定积分的高数题,我不知道问什么,积分上下线调换了,怎么没有变号?
设：f(x)=sinx,x≤π／2
=x－π／2,x﹥π／2 求,Ⅰ=∫x,0(x为上限,0为下限) t·f (x-t)dt 的值是多少?
,Ⅰ=∫x,0(x为上限,0为下限) t·f (x-t)dt
令 x-t=u,则 t=x-u ,dt= -du 代入上式中,
Ⅰ=∫x,0(x为上限,0为下限) t·f (x-t)dt
=Ⅰ=∫0,x(0为上限,x为下限) (x-u)·f (u)(-du)
=Ⅰ=x∫x,0(x为上限,0为下限) f(u)du -∫x,0(x为上限,0为下限)uf(u)du
积分上下限调换,不是要变号的吗?为什么此题的第二部变了上下限后,积分没有增加负号呢?

Answer 1

Ⅰ=∫x,0(x为上限,0为下限) t·f (x-t)dt
=∫0,x(0为上限,x为下限) (x-u)·f (u)(-du) 上、下限调换,是因为换元造成的,不能添加负号.
=x∫x,0(x为上限,0为下限) f(u)du -∫x,0(x为上限,0为下限)uf(u)du
-du中的负号导致积分上、下限调换.