Question

x趋向于a,求x^X-a^a/x-a的极限

Answer 1

楼上居然说能用洛必达法则，x^x你求导给我看看。
最简单的做法是中值定理:f(a)-f(b)=f'(ξ)(a-b), ξ∈（a，b）
原式先改写成
lim(x→a)((e^xlnx-e^alna)/(x-a)) 令f(y)=e^y,则f'(y)=e^y
代入中值定理,得
lim(x→a)(e^ξ*(xlnx-alna)/(x-a)), 又ξ∈（alna,xlnx），其中x→a,所以ξ=alna
原式=a^alim(x→a)(xlnx-alna)/(x-a), 令g(y)=ylny, 则g'(y)=lny + 1
再使用一次中值定理，得结果a^a * (lna+1)

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

t=x-a
x->a,t->0
lim(e^x-e^a)/(x-a)
=lime^a[e^(x-a)-1]/(x-a)
=lime^a(e^t-1)/t
t->0
时e^t-1~t等价无穷小，当然你也可以用洛必达
所以极限为e^a