Question

已知数列{an}满足a1=3，anan-1=2an-1-1.(1)求a2，a3，...

已知数列{an}满足a1=3，anan-1=2an-1-1. (1)求a2，a3，a4; (2)求证:数列{1an-1}是等差数列，并求出{an}的通项公式. (3)若bn=(2n-1)2nan，求{bn}的前n项和Tn.

Answer 1

解答:解:(1)∵a1=3，anan-1=2an-1-1.
当n=2时，a2a1=2a1-1，即a2=2-
1
a1
=
5
3
，
当n=3时，a3a2=2a2-1，即a3=2-
1
a2
=
7
5
，
当n=4时，a4a3=2a3-1，即a4=2-
1
a3
=
9
7
，
证明:(2)由题意得an≠0且an≠1
∵anan-1=2an-1-1.
∴(an-1-1)-(an-1)=(an-1-1)(an-1)
∴
1
an-1
-
1
a-1 -1
=1
∴数列{
1
an-1
}是以
1
2
为首项，以1为公式差的等差数列
故
1
an-1
=
1
2
+n-1=n-
1
2
∴an=
2
2n-1
+1=
2n+1
2n-1
解:(3)由(2)得:bn=(2n+1)2n
∴Tn=3•2+5•22+7•23+…+(2n+1)2n…①
∴2Tn=3•22+7•23+…+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1…②
②-①得:Tn=(2n-1)2n+1+2