Question

求以椭圆x²/4+y²/16＝1的焦点为顶点，且与该离心率相同的椭圆的标准方程

Answer 1

椭圆x²/4+y²/16＝1的焦点为，(0,±√3)
e=c/a=√3/4
当所求椭圆的长轴在y上时有：c=ea=√3/4
X
√3=3/4
b^2=a^2-c^2=3-9/16=39/16
此时椭圆标准方程为：
16x²/39+y²/3＝1
当所求椭圆的长轴在y上时有：c=ea=√3a/4
b=√3
b^2=a^2-c^2
可得　：13a^2/16=3
解得：a^2=48/13
此时椭圆标准方程为：
13x²/48+y²/3＝1

Answer 2

x^2/4+y^2/16=1
a^2=16,b^2=4,c^2=16-4=12
故焦点坐标是(0,2根号3)和(0,-2根号3)
那么1.新椭圆的长轴长2a'=2c,a'=c=2根号3
e=c/a=2根号3/4=根号3/2
即e=c'/a'=c'/2根号3=根号3/2
即c'=3
b'^2=a'^2-c'^2=12-9=3
故椭圆方程是y^2/12+x^2/3范常顿端塥得舵全罚户=1.
2.新椭圆的短轴长是2b'=2c,b'=c=2根号3
e=c'/a'=根号(a'^2-b'^2)/a'=根号3/2
根号(a'^2-12)=a'*根号3/2
a'^2-12=3/4a'^2
a'^2=48
故椭圆方程是x^2/48+y^2/12=1