Question

已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，试讨论函数f（x）的单调区间

已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，试讨论函数f（x）的单调区间．

Answer 1

∵f（x）=x3+ax2+x+1，
∴f′（x）=3x2+2ax+1，
①当△≤0时，即（2a）2-12＜0，即?3≤＜a≤3时，f′（x）＞0，
故函数f（x）=x3+ax2+x-1的单调递增区间为R；
②当△＞0时，即（2a）2-12＞0，即a＜?3或a＞3时，
令f′（x）=3x2+2ax+1=0，解得x=?a+a2?33，或x=?a?a2?33
当f′（x）＞0时，即x＞?a+a2?33，或x＜?a?a2?33，f（x）为单调增函数，
当f′（x）＜0时，即?a?a2?33＜x＜?a+a2?33，f（x）为单调减函数，
综上所述，当?3≤＜a≤3时，f（x）在R上递增，
当a＜?3或a＞3时，函数f（x）在（?a?a2?33，?a+a2?33）上单调递减，
在（-∞，?a?a2?33）和（?a+a2?33，+∞）单调递增