Question

证明若a,b和c是整数且c|ab,则c|(a,c)(b,c)

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Answer 1

因为a,b,c,是非零整数,且a+b+c=0,
所以a，b，c是两正一负或两负一正
1.
如果是两正一负，a÷|a|+b÷|b|+c÷|c|=1，abc÷|abc|=-1
原式=0
2.
如果两负一正，a÷|a|+b÷|b|+c÷|c|=-1，abc÷|abc|=1
原式=0
3.
综上，原式=0

Answer 2

用到最大公约的性质:
(x,y)z
=
(xz,yz).
于是(a,c)(b,c)
=
(a(b,c),c(b,c))
=
((ab,ac),c(b,c)).
由c
|
ab,
可知c
|
(ab,ac),
又显然c
|
c(b,c),
故c
|
((ab,ac),c(b,c))
=
(a,c)(b,c).