Question

已知函数,.求函数的单调区间和极值;求证:当时,;如果,且,求证:.

已知函数,. 求函数的单调区间和极值; 求证:当时,; 如果,且,求证:.

Answer 1

对求导,令,解出后判断根的两侧导函数的符号即可确定出单调性和极值.比较两个函数的大小可将它们作差,研究新函数的最小值,使最小值大于零,不等式即可证得.由的结论知时,,.,.即可证得结论.
解:,.
令,解得.
-
极大值
在内是增函数,在内是减函数,
当时,取得极大值.
证明:令,
则.
当时,,,从而,
,在是增函数.
,故当时,.
证明:在内是增函数,在内是减函数,
当,且时,,不可能在同一单调区间内.
不妨设,
由的结论知时,,.
,.
又,.
此题是个难题.主要考查函数与导数的综合应用能力,具体涉及到用导数来研究函数的单调性,极值等基础知识,考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.