三道中值定理证明题 求高手解答 希望有具体步骤和这类题的思路
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简单分析一下，详情如图所示
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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1.设F(x)=f(x)e^(x^2/2),则F(a)=F(b)=0,F(x)满足罗尔定理的条件，由罗尔定理：
至少存在η属于(a,b)，使F'(η)=0,但F’(x)=f‘(x)e^(x^2/2)+xf(x)e^(x^2/2),代入得：
f‘(η)+xf(η)=0
2.设存在点f(x0)
≠0.
若f(x0)>0,由于f(a)=f(b)=0,故，f(x)一定在(a,b)有极大值点c，故f'(c)=0且f(c)>0.
将c代入f''(x)+x^2f'(x)-2f(x)=0得：f''(c)-2f(c)=0,故f''(c)=2f(c)>0,
c是极小值点，矛盾。
若f(x0)<0,由于f(a)=f(b)=0,故，f(x)一定在(a,b)有极小值点c，故f'(c)=0且f(c)<0.
将c代入f''(x)+x^2f'(x)-2f(x)=0得：f''(c)-2f(c)=0,故f''(c)=2f(c)<0,
c是极大值点，矛盾。
故所有的x,都有f(x)=0
3,(1):∫(-a,a)f(t+a)dt=∫(0,2a)f(u)du,∫(-a,a)f(t-a)dt=∫(-2a,0)f(u)du
原式=lim(a→0)[2f(2a)-2f(-2a)]/8a
=lim(a→0)[f(2a)-f(-2a)]/4a=lim(a→0)[f(2a)-f(0)+f(0)-f(-2a)]/4a=f'(0)
(2)由积分中值定理：存在c属于(-a,a)，使：（1/2a)∫(-a,a)f(t)dt=f(c)
所以：|(1/2a)∫(-a,a)f(t)dt-f(x)|=|f(c)-f(x)|《M-m
至少存在η属于(a,b)，使F'(η)=0,但F’(x)=f‘(x)e^(x^2/2)+xf(x)e^(x^2/2),代入得：
f‘(η)+xf(η)=0
2.设存在点f(x0)
≠0.
若f(x0)>0,由于f(a)=f(b)=0,故，f(x)一定在(a,b)有极大值点c，故f'(c)=0且f(c)>0.
将c代入f''(x)+x^2f'(x)-2f(x)=0得：f''(c)-2f(c)=0,故f''(c)=2f(c)>0,
c是极小值点，矛盾。
若f(x0)<0,由于f(a)=f(b)=0,故，f(x)一定在(a,b)有极小值点c，故f'(c)=0且f(c)<0.
将c代入f''(x)+x^2f'(x)-2f(x)=0得：f''(c)-2f(c)=0,故f''(c)=2f(c)<0,
c是极大值点，矛盾。
故所有的x,都有f(x)=0
3,(1):∫(-a,a)f(t+a)dt=∫(0,2a)f(u)du,∫(-a,a)f(t-a)dt=∫(-2a,0)f(u)du
原式=lim(a→0)[2f(2a)-2f(-2a)]/8a
=lim(a→0)[f(2a)-f(-2a)]/4a=lim(a→0)[f(2a)-f(0)+f(0)-f(-2a)]/4a=f'(0)
(2)由积分中值定理：存在c属于(-a,a)，使：（1/2a)∫(-a,a)f(t)dt=f(c)
所以：|(1/2a)∫(-a,a)f(t)dt-f(x)|=|f(c)-f(x)|《M-m
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