Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.求证:(a^2-b^2)/c^2=sin(A-B)/sinC.

谢谢!~

Answer 1

因为
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r
(r是三角形外接圆半径)
所以
a=2rsinA,
b=2rsinB,
c=2rsinC
代入，等式左边＝[(sinA)^2-(sinB)^2]/(sinC)^2
＝(sinA+sinB)(sinA-sinB)/(sinC)^2
（平方差公式因式分解）
＝[2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)][2sin((A-B)/2)cos((A+B)/2)]/(sinC)^2
（和差化积）
＝[2cos(C/2)cos((A-B)/2)][2sin((A-B)/2)sin(C/2)]/(sinC)^2
（利用了A＋B＝180－C）
＝[2cos(C/2)sin(C/2)][2sin((A-B)/2)cos((A-B)/2)]/(sinC)^2
（移项）
＝(sinC)sin(A-B)/(sinC)^2
（两倍角公式）
＝sin(A-B)/sinC
（约分）
＝右边