Question

数学立体几何和外接圆

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Answer 1

解：取直三棱柱三条侧棱的中点A2B2C2，并连接三点，则平面A2B2C2为三棱柱的中截面，
到底面A、B、C距离相等的点的集合为垂直于平面ABC，且通过△ABC重心的直线。
故取△ABC重心P，作直线PP1交平面A1B1C1于P1，交中截面于P2，则P2到六个顶点的距离都相等，即P2为三棱柱外接圆的圆心。
连接P2A，则P2A=2/2=1，连接A2P2并延长，交B2C2于D2，由A2B2=1，得A2D2=√3/2
而P2为△A2B2C2的重心，则A2P2=2A2D2/3=√3/3
所以，AA2=√（P2A²-A2P2²）=√6/3
故侧棱长为：AA1=2AA2=2√6/3
三棱柱侧面面积为：S侧=(2√6/3)*1*3=2√6
底面面积为：S底=（1*1）sin60°/2=√3/4
故表面积为：S表=2√6+（√3/4）*2=2√6+√3/2