Question

对常数c求极限

若对常数c,（x五次方＋7x四次方＋2）的c次方-x在x→＋∞时的极限存在,且不为0,确定常数c,并求极限?
请给出确定常数c的具体过程!

Answer 1

c=1/5,极限=7/4
(x^5＋7x^4＋2)^c-x,取c=1/5,设y=(x^5＋7x^4＋2)^(1/5),
原式=((x^5＋7x^4＋2)^c-x)=(y^5-x^5)/(y^4+y^3*x+y^2*x^2+y*x^3+x^4)
=(7x^4＋2)/(y^4+y^3*x+y^2*x^2+y*x^3+x^4)
=(7＋2/x^4)/(y^4/x^4+y^3/x^3+y^2/x^2+y/x+1)(分子分母同除x^4)
上式分母中括号内的4项分别化为:
y^4/x^4=(x^5＋7x^4＋2)^(4/5)/x^4=(1＋7/x＋2/x^4)^(4/5),
y^3/x^3=(x^5＋7x^4＋2)^(3/5)/x^3=(1＋7/x＋2/x^4)^(3/5),
y^2/x^2=(x^5＋7x^4＋2)^(2/5)/x^3=(1＋7/x＋2/x^4)^(2/5),
y/x=(x^5＋7x^4＋2)^(1/5)/x=(1＋7/x＋2/x^4)^(1/5),
当x→＋∞时,上面4个式子极限均为1,即分母的极限为4,分子7＋2/x^4的极限为7,故所求极限为7/4.
为什么取c=1/5,原式是无穷大减无穷大(∞-∞)的形式,该式要有极限,两项的最高次数一定相等才行,这是极限存在的必要条件.