Question

已知方程x^2+y^2-2x-4y+m=0,直线x+2y-4=0相交于M、N两点,且OM垂直ON(O为坐标原点)

求m的值

Answer 1

将圆化成标准方程(x-1)^2+(y-2)^2=5-m,(m＜5)
圆心C为(1,2)，那么直线OC的斜率k1就为2,而直线MN:x+2y-4=0得斜率k2=-1/2，k1*k2=-1,即是说直线OC与直线MN相互垂直，设其交点为D,由CM=CN,CD=CD,∠CDM=∠CDN=90°可知△CDM≌△CDN,所以MD=ND,即OC垂直平分MN，那么就有OM=ON
将
x+2y-4=0代入x^2+y^2-2x-4y+m=0消去y,得到5x^2/4-2x+m-4=0
可知|x1-x2|=4√(24-5m)/5,那么MN=|x1-x2|*√(1+k2^2)=√(24-5m)
同样可以利用求根公式得到OM=√(8-m),由于RT△OMN中OM=ON,所以MN=√2*OM
即√(24-5m)=√2*√(8-m),解得m=8/3