Question

设函数f(x)=x|x-a|+b

设函数f(x)=x|x-a|+b （1）当a＞0时，求函数y=f(x)的单调区间 （2）若不存在正数a,使得不等式f(x)＜0对任意x∈[0,1]恒成立，求实数b的取值范围。

Answer 1

f(x)=-x²+ax+b=-(x-a/2)²+b+a²
x≤a ①
f(x)=x²-ax+b=(x-a/2)²+b-a²

x>a ②
①开口向下，对称轴x=a/2，①开口向上，对称轴x=a/2
a>0 ①包含对称轴，②全部在对称轴的右侧
∴x∈(-∞,a/2)∪(a,+∞)
为单调递增区间

x∈(a/2,a)为单调递减区间
(2)g(x)=x|x-a|
g(0)=0
g(1)=|1-a|
极大值=g(a/2)=a²/4
极小值g(a)=0
x∈[0,1]时，
0<a≤2√2-2
最大值=g(1)=1-a→b>a-1→b>2√2-3
2√2-2<a≤2 最大值=g(a/2)=a²/4→b>-a²/4>2√2-3
a>2时，

最大值=g(1)=a-1→b>1-a>-1
∴b>2√2-3