Question

高中数列数学题，求解答过程。很急。

设等差数列{an}的前n项和为Sn。已知a4=14 . S10=185. (1)求等差数列{an}的通项公式an. (2) 将数列{an}中的第2项。第4项……，第2^n项按原来的顺序排成一个新数列{bn}, 求{bn}的前n项和Tn.

Answer 1

第一问：因为该数列是等差数列，所以有a4=a1+3d=14········第1式
根据求和公式Sn=na1+n*(n-1)d/2
有
S10=10a1+45d=185······第2式
第1式和第2式联立解方程，有a1=5,d=3
所以有通项公式an=5+(n-1)*3=3n+2
第二问：根据数列{an}中的第2项，第4项……的意思，我们可以理解为b1=a1,b2=a4,b3=a8·····bn=a(2^n)，我们可以写出新数列bn如下：
b1=5，b2=11，b3=26，·····bn=(3*2^n+2)所以我们整理出以下式子：
bn=3*2^n+2
b(n-1)=3*2^(n-1)+2················第1项
b(n-2)=3*2^(n-2)+2················第2项
·····
·····
·····
·····
b2=3*2^2+2····················第n-1项
b1=3*2^1+2····················第n项
然后把这个n项都加起来，这个方法叫做迭代法。
可以得出b1+b2+·····+bn=[3*2^1+2]+[3*2^2+2]+····+[3*2^(n-1)+2]
等式左边就是Tn,等式右边我们可以这样处理。
我们发现有n个2，所以可以写成2n，然后就是剩下3*2^1+3*2^2··3*2^(n-1)
接着，我们把3提取出来，有3*（2^1+2^2+·····2^n)，我们发现括号内是一个等比数列，我们只要求和就可以啦。
等比数列求和=[2*(1-2^n)]/(1-2)=2*2^n-2
所以Tn=3*(2*2^n-2)+2n=3*2^(n+1)+2n-6