Question

证明根号3是无理数

详细

Answer 1

首先你要知道任何一个有理数均可以表示成p/q的形式
（p
q均为不为0的整数
且互质）
假设根号3是有理数
且可以表示成p/q
有3=p^2/q^2
p^2=3q^2
p^2是3的倍数
那么p也是3的倍数
设p=3k
有9k^2=3q^2
3k^2=q^2
所以q^2是3的倍数
q也是3的倍数
设q=3m
可见p
q有公约数3
与p
q互质矛盾
所以根号3是无理数

Answer 2

反证法：假设√3是有理数。
1^2< (√3)^2<2^2
1<√3<2,所以√3不是整数，
设√3=p/q ，p和q互质
把 √3=p/q 两边平方
3=(p^2)/(q^2)
3(q^2)=p^2
3q^2是3的倍数数，p 必定3的倍数，设p=3k
3(q^2)=9(k^2)
q^2=3k^2
同理q也是3的倍数数，
这与前面假设p，q互质矛盾。
因此√3是无理数。

Answer 3

反证：
假设√3是有理数，不妨设：
√3＝p/q
其中（p,q）=1
则有，p^2=3q^2
因为(p,q)=1，所以(p^2,q^2)=1
故可得：3|p^2
得：3|p^2
故可设p=3k
由√3＝p/q
得：√3＝3k/q
(k,q)=1
得：q=3k^2
由上，同样可证：3|q^2
因此，3是p^2与q^2的公约数
这与(p,q)=1矛盾。
综上所述，√3为无理数。

Answer 4

楼上的那个人的证明貌似有问题将3换成4得到的结论是根号4也是无理数

Answer 5

方法一：假设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是质数，所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数
方法二：设x=根号3，则有方程x^2=3
假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1
根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾