Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π4，bsin(π4-...

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π4，bsin(π4-C)-csin(π4-B)=a． （Ⅰ）求B和C； （Ⅱ）若a=22，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵bsin(π4-C)-csin(π4-B)=a，
∴由正弦定理，得sinBsin(π4-C)-sinCsin(π4-B)=sinA．…（1分）
展开，得sinB(22cosC-22sinC)-sinC(22cosB-22sinB)=22，…（2分）
化简得sinBcosC-cosBsinC=1，即sin（B-C）=1．…（3分）
∵0＜B，C＜34π，可得-34π＜B-C＜34π，…（4分）
∴B-C=π2．…（5分）
又∵A=π4，∴B+C=34π，
解之得：B=58π，C=π8．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B=58π，C=π8，
由正弦定理bsinB=asinA，得b=asinBsinA=22×sin58πsinπ4=4sin58π．…（8分）
∴△ABC的面积为S=12absinC=12×22×4sin58πsinπ8…（9分）
=42sin58πsinπ8=42cosπ8sinπ8=22sinπ4=2．…（12分）