Question

勾股定理的证明方法越多越好

Answer 1

勾股定理证明评鉴
勾股定理（又叫「毕氏定理」）说：「在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。」据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！
我觉得，证明多，固然是表示这个定理十分重要，因而有很多人对它作出研究；但证明多，同时令人眼花缭乱，亦未能够一针见血地反映出定理本身和证明中的数学意义。故此，我在这篇文章中，为大家选出了 7 个我认为重要的证明，和大家一起分析和欣赏这些证明的特色，与及认识它们的历史背境。
证明一

图一
在图一中， ABC 为一直角三角形，其中  A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明， FBC 全等於  ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面积 = 2   FBC 的面积 = 2   ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。
这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！
这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。
欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。
证明二

图二
图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有
(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化简得 a2 + b2 = c2
由此得知勾股定理成立。
证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：

图三
由面积计算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b  a)2
展开得 = 2ab + b2  2ab + a2
化简得 c2 = a2 + b2（定理得证）
图三的另一个重要意义是，这证明最先是由一个中国人提出的！据记载，这是出自三国时代（即约公元 3 世纪的时候）吴国的赵爽。赵爽为《周髀算经》作注释时，在书中加入了一幅他称为「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图，亦即是上面图三的图形了。
证明三

图四
图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。不难看出，整个图就变成一个梯形。利用梯形面积公式，我们得到∶
1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2
化简得 a2 + b2 = c2（定理得证）
有一些书本对证明三十分推祟，这是由於这个证明是出自一位美国总统之手！
在 1881 年，加菲（James A. Garfield； 1831  1881）当选成为美国第 20 任总统，可惜在当选后 5 个月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有关证明，是他在 1876 年提出的。
我个人觉得证明三并没有甚麼优胜之处，它其实和证明二一样，只不过它将证明二中的图形切开一半罢了！更何况，我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单！
又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式 (a  b)2 = a2  2ab + b2 了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生都未能完全掌握，由於以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。
证明五

(a) (b)
图八
图八(a)和图二一样，都是在一个大正方形中，放置了4个直角三角形。留意图中浅黄色部分的面积等於 c2。现在我们将图八(a)中的 4 个直角三角形移位，成为图八(b)。明显，图八(b)中两个浅黄色正方形的面积之和应该是 a2 + b2。但由於(a)、(b)两图中的大正方形不变，4 个直角三角形亦相等，所以余下两个浅黄色部的面积亦应该相等，因此我们就得到 a2 + b2 = c2，亦即是证明了勾股定理。
对於这个证明的出处，有很多说法：有人说是出自中国古代的数学书；有人相信当年毕达哥拉斯就是做出了这个证明，因而宰杀了一百头牛来庆祝。总之，我觉得这是众多证明之中，最简单和最快的一个证明了。
不要看轻这个证明，它其实包含著另一个意义，并不是每一个人都容易察觉的。我现在将上面两个图「压扁」，成为图九：

(a) (b)
图九
图九(a)中间的浅黄色部分是一个平行四边形，它的面积可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中 m 和 n 分别是两个直角三角形斜边的长度。而图九(b)中的浅黄色部分是两个长方形，其面积之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一样，(a)、(b)两图浅黄色部分的面积是相等的，所以将两式结合并消去共有的倍数，我们得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，这就是三角学中最重要的复角公式！原来勾股定理和这条复角公式是来自相同的证明的！
在证明二中，当介绍完展开 (a + b)2 的方法之后，我提出了赵爽的「弦图」，这是一个展开 (a  b)2 的方法。而证明五亦有一个相似的情况，在这裏，我们除了一个类似 (a + b) 的「无字证明」外，我们亦有一个类似 (a  b) 的「无字证明」。这方法是由印度数学家婆什迦罗（Bhaskara; 1114  1185）提出的，见图十。

(a) (b)
图十

Answer 2

百度上很多
证法1
作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b
,斜边长为c.
把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.
过点C作AC的延长线交DF于点P.
∵
D、E、F在一条直线上,
且RtΔGEF
≌
RtΔEBD,
∴
∠EGF
=
∠BED,
∵
∠EGF
+
∠GEF
=
90°,
∴
∠BED
+
∠GEF
=
90°,
∴
∠BEG
=180°―90°=
90°
又∵
AB
=
BE
=
EG
=
GA
=
c,
∴
ABEG是一个边长为c的正方形.
∴
∠ABC
+
∠CBE
=
90°
∵
RtΔABC
≌
RtΔEBD,
∴
∠ABC
=
∠EBD.
∴
∠EBD
+
∠CBE
=
90°
即
∠CBD=
90°
又∵
∠BDE
=
90°,∠BCP
=
90°,
BC
=
BD
=
a.
∴
BDPC是一个边长为a的正方形.
同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
a^2+b^2=c^2
证法2
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
,斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形.
把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC,交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵
∠BCA
=
90°,QP‖BC,
∴
∠MPC
=
90°,
∵
BM⊥PQ,
∴
∠BMP
=
90°,
∴
BCPM是一个矩形,即∠MBC
=
90°.
∵
∠QBM
+
∠MBA
=
∠QBA
=
90°,
∠ABC
+
∠MBA
=
∠MBC
=
90°,
∴
∠QBM
=
∠ABC,
又∵
∠BMP
=
90°,∠BCA
=
90°,BQ
=
BA
=
c,
∴
RtΔBMQ
≌
RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF
≌
RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
证法3
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）
,斜边长为c.
再作一个边长为c的正方形.
把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
∴FI=a,
∴G,I,J在同一直线上,
∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
∠CJB
=
∠CFD
=
90°,
∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
,
同理,RtΔABG
≌
RtΔADE,
∴RtΔCJB
≌
RtΔCFD
≌
RtΔABG
≌
RtΔADE
∴∠ABG
=
∠BCJ,
∵∠BCJ
+∠CBJ=
90°,
∴∠ABG
+∠CBJ=
90°,
∵∠ABC=
90°,
∴G,B,I,J在同一直线上,
a^2+b^2=c^2
证法4
作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
BF、CD.
过C作CL⊥DE,
交AB于点M,交DE于点L.
∵
AF
=
AC,AB
=
AD,
∠FAB
=
∠GAD,
∴
ΔFAB
≌
ΔGAD,
∵
ΔFAB的面积等于,
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半,
∴
矩形ADLM的面积
=.
同理可证,矩形MLEB的面积
=.
∵
正方形ADEB的面积
=
矩形ADLM的面积
+
矩形MLEB的面积
∴
即a^2+b^2=c^2
证法5(欧几里得的证法)
《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立.
设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等.
在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理）
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.
任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）.
证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形.
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB.
其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH.
画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L.
分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA.
∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A
和
G
都是线性对应的,同理可证B、A和H.
∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC.
因为
AB
和
BD
分别等于
FB
和
BC,所以△ABD
必须相等于△FBC.
因为
A
与
K
和
L是线性对应的,所以四方形
BDLK
必须二倍面积于△ABD.
因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC.
因此四边形
BDLK
必须有相同的面积
BAGF
=
AB^2.
同理可证,四边形
CKLE
必须有相同的面积
ACIH
=
AC^2.
把这两个结果相加,
AB^2+
AC^2;
=
BD×BK
+
KL×KC
.由于BD=KL,BD×BK
+
KL×KC
=
BD(BK
+
KC)
=
BD×BC
由于CBDE是个正方形,因此AB^2
+
AC^2=
BC^2.
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

Answer 3

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Answer 4