Question

高中数学计算题

求以下题目的过程/解释及答案: 1.直线l截圆x2+y2-2y=0所得弦AB的中点是(-1/2,3/2),求直线l的方程. 2.求和直线3x-4y+4=0垂直冄与圆x2-2x+y2-3=0相切的直线方程. 3.与双曲线x2/9-y2/16=1有共同的渐线,且经过点(3,-4√2),求双曲线方程 4.设f(x)=2(log2X)2+2a log2(1/x)+b,己知当x=1/2时,f(x)取得最小值为-8,求a-b 5.要得到函数y=3sin(2x-π/3)的图像,只需将函数y=3sin2x的图像 A.向左平动π/3个单位 B. 向右平动π/3个单位 C. 向左平动π/6个单位D. 向右平动π/3个单位

Answer 1

1.直线l截圆x2+y2-2y=0所得弦AB的中点是(-1/2,3/2),求直线l的方程.
解：假设直线方程为
y
=
kx
+
b,
带入
x^2
+
y^2
-
2y
=
0,
得
x^2
+
(kx+b)^2
-
2(kx
+
b)
=
0
x^2
+
k^2
*
x^2
+
2kbx
+
b^2
-
2kx
-2b
=
0
(k^2
+
1)x^2
+
2k(b
-
1)x
+
b^2
-
2b
=
0
------------------------（1）
弦AB的中点是(-1/2,3/2),
所以方程（1）的两个解的和为
2
*
(-1/2)
=
-1
=
-
2k(b
-
1)/[2(k^2
+
1)]
=
-
k(b
-
1)/(k^2
+
1)
k(b
-
1)/(k^2
+
1)
=
1
-------------
(2)
y1
+
y2
=
k(x1
+
x2)
+
b,
2
*
(3/2)
=
k
*
(-1)
+
b,
3
=
b
-
k
-----------
(3)
(2)(3)
联合
求得
k(2+k)
=
k^2+1,
2k
=
1,
k
=
1/2
b
=
3
+
k
=
7/2
所以直线为
y
=
7x/2
+
1/2
---------------------------------------------------------------------
2.求和直线3x-4y+4=0垂直且与圆x2-2x+y2-3=0相切的直线方程.
解：
3x-4y+4=0，
y
=
3x/4
+
1,
斜率为
3/4
那么与它垂直的直线的斜率为
-
1/(3/4)
=
-4/3
假设它为
y
=
-4x/3
+
b,
带入圆方程
x^2
-
2x
+
y^2
-
3
=
0，
得
x^2
-
2x
+
(-4x/3
+
b)^2
-
3
=
0
x^2
-
2x
+
16x^2/9
-
8bx/3
+
b^2
-
3
=
0
25x^2/9
-
(2
+
8b/3)x
+
b^2
-
3
=
0
----------
(1)
因为相切，
所以只有一个交点，那么方程(1)只有唯一解，它的判别式=0，即
(2
+
8b/3)^2
-
4
*
25/9
*
(b^2
-
3)
=
0
4
*
(1
+16b^2
/
9
+
8b/3)
-
100b^2/9
+
100/3
=
0
9
+16b^2
+
24b
-
25b^2
+
75
=
0
-9b^2
+
24b
+
84
=
0
3b^2
-
8b
-
28
=
0
(3b
-
14)(b
+
2
)
=
0
b
=
14/3
或者
-2
所以直线方程为
y
=
-4x/3
+
14/3
或者y
=
-4x/3
-
2
-------------------------------------------------------------------------
3.与双曲线x2/9-y2/16=1有共同的渐线,且经过点(3,-4√2),求双曲线方程
解：
x^2/9
-
y^2/16
=
1
的渐近线为
x/3
+-
y/4
=
0,
y
=
+-
4x/3
假设所求为
x^2/a^2
-
y^2/b^2
=
-1,
渐近线为
x^2/a^2
-
y^2/b^2
=
0,
y/b
=
+-
x/a,
y
=
+-
b/a
*
x
渐近线相同，
所以
4/3
=
b/a
---------------
(1)
经过点(3,-4√2)，
所以
9/a^2
-
32/b^2
=
-1
-----------
(2)
(1)(2)联合得
9/a^2
-
32
/
[16a^2
/
9]
=
-1
9
-
32*9/16
=
-a^2
9
-
2*9
=
-a^2
a
=
3
b
=
4
所求为
x^2/9
-
y^2/16
=
-1,
------------------------------------------------------------------------------
4.设f(x)=2(log<2>X)^2+2a
log<2>(1/x)+b,己知当x=1/2时,f(x)取得最小值为-8,求a-b
解：f(1/2)
=
2
*
(-1)^2
+
2a
*
1
+
b
=
2
+
2a
+
b
=
-8,
2a
+
b
=
-10
--------------
(1)
f(x)
=
2
(lnx
/
ln2)^2
+
2a
(ln(1/x)
/
ln2)
+
b
=
2
(lnx)^2
/
(ln2)^2
-
2a
(lnx
/
ln2)
+
b
f'(x)
=
2/(ln2)^2
*
2lnx
*
1/x
-
2a/ln2
*
1/x
=
0
2/(ln2)
*
lnx
-
a
=
0
x
=
1/2
-2
-
a
=
0,
a
=
-2,
带入(1)得
b
=
-6
a
-
b
=
-2
-
(-6)
=
4
------------------------------------------------------------------
5.要得到函数y=3sin(2x-π/3)的图像,只需将函数y=3sin2x的图像
A.向左平动π/3个单位
B.
向右平动π/3个单位
C.
向左平动π/6个单位D.
向右平动π/3个单位
解：
y=3sin(2x-π/3)
=
3
*
sin[2(x
-
π/6)]
x
=
m
+
π/6
即
m
=
x
-
π/6
的时候
y
=
3sin(2m)
=
3sin(2x)
所以
x
需要向左平动
π/6,
答案为
C